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    差分约束与最短路 |  丛烨-shimmerjordan
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  差分约束与最短路
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  <time datetime="2020-02-16T05:46:16.000Z" itemprop="datePublished">2020-02-16</time>
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    <div class="article-entry" itemprop="articleBody">
       
  <p>在差分约束系统中：  </p>
<ul>
<li>如果求未知数的最大值，那么按小于等于建图后求最短路即可。（因为求最短路是由无穷向下约束得到，，所以得到的一定是最大值）  </li>
<li>如果求未知数的最小值，那么按小于等于建图后求最长路即可。  </li>
</ul>
<span id="more"></span>
<p>注意所有数据的关系，不能漏掉关系，还有与附加源点的关系。</p>
<p>如果是按大于等于建图：  </p>
<ul>
<li>求最大值，建图后求最长路；  </li>
<li>求最小值，建图后求最短路。  </li>
</ul>
<p>因为大于等于建图后，相当于未知数都 <em> -1了，所以求出结果后需要 </em> -1。 </p>
<p>可为何可以用最短路解决差分约束问题？在这里我记录自己的理解。                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  </p>
<h1 id="差分约束系统"><a href="#差分约束系统" class="headerlink" title="差分约束系统"></a>差分约束系统</h1><h2 id="定义"><a href="#定义" class="headerlink" title="定义"></a>定义</h2><p>如果一个系统由\(n\)个变量和\(m\)个约束条件组成，形成\(m\)个形如\(a_i-a_j \leq k \quad (i,j \in [1,n], k为常数)\)的不等式则称其为差分约束系统。</p>
<h2 id="引理"><a href="#引理" class="headerlink" title="引理"></a>引理</h2><p>设 $x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$是差分约束系统 \(Ax \leq b\)的一个解，\(d\) 为任意常数，则 \(x+d=(x_1+d,x_2+d, \cdots ,x_n+d)\) 也是该系统 \(Ax \leq b\) 的一个解</p>
<p>而我们看到的算法解决的问题也便是：在确定一个未知数的情况下，求出这个不等式组中每个 \(a_i\) 的符合不等式的最大值。</p>
<h1 id="理解方式"><a href="#理解方式" class="headerlink" title="理解方式"></a>理解方式</h1><p>查阅资料了解到：由于不等式 \(x_i \leq x_j+k\) 和最短路里面的松弛条件：</p>
<pre><code>if(dis[v] &gt; dis[f]+edge[i].w)
    dis[v]=dis[f]+edge[i].w;
</code></pre><p>颇有相像之处，因此我们可以使用最短路来解决这个问题，具体造作就是对于 \(x_i \leq x_j+k\) 这个不等式，需要从 \(x_j\) 向 \(x_i\) 连一条权值为 \(k\) 的边</p>
<p>蒟蒻实在无法理解这个看起来强词夺理的说法，于是用了另外一种方法理解：</p>
<h2 id="理解新角度"><a href="#理解新角度" class="headerlink" title="理解新角度"></a>理解新角度</h2><p>对于任意一个点 \(x_i\) ，假设存在以下约束关系：  </p>
<script type="math/tex; mode=display">
\begin{cases}
x_i \leq x_a+k_a \\\ 
x_i \leq x_b+k_b \\\ 
x_i \leq x_c+k_c \\\ 
x_i \leq x_d+k_d \\\ 
x_i \leq x_e+k_e
\end{cases}</script><p>可以借助图形来理解</p>
<div align=center><img src="https://i.imgur.com/lnDdDCK.jpg" width=30% height=30%></div>

<p>显然，对于上述不等式组，我们手动求解的时候一定是同小取小，也即取 \(x_j+k_j (j=a,b,c,d,e)\) 的最小值<br>同样的，在最短路径算法中，当我们跑完一次最短路时，\(x_i\) 一定是 \(x_j+k_j (j=a,b,c,d,e)\) 的最小值，并且这个 \(x_i\) 就是<strong>满足这个约束条件的最大值</strong></p>
<h2 id="新角度2-0"><a href="#新角度2-0" class="headerlink" title="新角度2.0"></a>新角度2.0</h2><p>关于“ \(x_i\) 就是满足这个约束条件的最大值”还有另一种理解方式</p>
<p>我们给 \(x_i \leq x_j+k_j\) 赋予一个意义： \(x_i\) 比 \(x_j\) 最多多 \(k_j\)<br>那么对于任意一个 \(x_i\) ，都会有大于等于 0 个 \(x_j\) 来约束它。如果有一个 \(x_j=5\) 比 \(x_i\) 最多少 3 ，另一个 \(x_j=2\) 比 \(x_i\) 最多少 1。那么这个时候 \(x_i\) 能够取到的最大值就只有第二个 \(x_j\) 的值加上 1，也就是 3 了。</p>
<p>也就是说，通过分析 \(x_i\) 被 \(x_j\) 的约束情况可以知道这样建图最后求出来的究竟是最大还是最小了</p>
<p>最后发现，这不就是这些不等式组合最短路相似的地方了吗？看来大佬说得对啊！奈何蒟蒻太弱无法理解。</p>
<p>现在还有一个问题待解决：如何确定起点？<br>根据引理，如果我们得到了一组为负数的解，那么将这组解同时加上一个数也是这个系统的一组解。那么我们不妨设 \(x_0=0\)，然后对每个 \(x_i\) 多列一个不等式 \(x_i \leq x_0\) ，也即 \(x_i \leq x_0 + 0\)。因此，以 \(x_0\) 为起点跑一个单源最短路，就可以得到所有未知数的最大非正数解了，随后便可以任意处置。</p>
<h1 id="不等号倒转"><a href="#不等号倒转" class="headerlink" title="不等号倒转"></a>不等号倒转</h1><p>如果不等式中的不等号方向调转，也即变为 \(a_i-a_j \leq k\) 怎么办？</p>
<p>注意到不等式是可以反号的，于是可以转化上述不等式</p>
<p>当然，也可以选择不转化。进而用到上述的方法，可以判断出，如果用最长路算法，可以求出每个未知数在约束范围内的最小值。同样，如果设一个 \(x_0\)，那么求出来的解就是最小的非负整数解</p>
<p>当然，事情并不是永远这么一帆风顺。那当我们遇到这种不等式怎么办：  </p>
<script type="math/tex; mode=display">
\begin{cases}
a-b \geq k_1 \\\ 
b-c \leq k_2 \\\ 
c-d \leq k_3 \\\ 
d=e \\\ 
f-e \geq k_4 \\\ 
f-a \leq k_5
\end{cases}</script><p>首先，关于这个不等式 \(d=e\)，可以化为\(d \leq e\)，\(e \leq d\)<br>然后，虽然我们可以将这个不等式任意变号求最长或最短路，但是我们还是需要看问题。如果问题是求XXX的最大值，那么就应该去求最短路，繁殖就是求最长路。</p>
<h1 id="解的存在性"><a href="#解的存在性" class="headerlink" title="解的存在性"></a>解的存在性</h1><p>显然，不等式组不一定有解。有以下几种情况：  </p>
<ol>
<li>不等式有解；  </li>
<li>不等式中的式子相互矛盾，最后出现自己大于（小于）自身的情况；  </li>
<li>不等式中的某些未知数之间没有一定的约束关系。</li>
</ol>
<p>这里不再讨论第一种情况，对于第二种，在最长路上出现便是出现了正环；在最短路上出现就是出现了负环。第三种情况，如果以\(x\)为起点跑程序的话，和\(x\)没有约束关系的值的dis不会被更新。</p>
<h1 id="总结"><a href="#总结" class="headerlink" title="总结"></a>总结</h1><h2 id="约束图"><a href="#约束图" class="headerlink" title="约束图"></a>约束图</h2><p>在一个差分约束系统 \(Ax \leq b\) 中，\(m \times n\) 的线性规划矩阵 \(A\) 可被看做是 \(n\) 顶点，\(m\) 条边的图的关联矩阵。对于 \(i=1,2, \cdots ,n\)，图中的每一个顶点 \(v_i\) 对应着 \(n\) 个未知量的一个 \(x_i\)。图中的每个有向边对应着关于两个未知量的 \(m\) 个不等式中的一个。</p>
<p>给定一个差分约束系统 \(Ax \leq b\)，相应的约束图是一个带权有向图 \(G=(V,E)\)，其中 \(V={v_0,v_1, \cdots ,v_n}\)，而且 \(E={(v_i,v_j) : x_j-x_i \leq b_k 是一个约束} \cup { (v_0,v_1),(v_0,v_2), \cdots ,(v_0,v_n)}\)。引入附加顶点 \(v_0\)是为了保证其他每个顶点均从 \(v_0\) 可达。因此，顶点集合 \(V\) 由对应于每个未知量 \(x_i\) 的顶点 \(v_i\) 和附加的顶点 \(v_0\) 组成。边的集合 \(E\) 由对应于每个差分约束条件的边与对应于每个未知量 \(x_i\) 的边 \((v_0,v_i)\) 构成。如果 \(x_j-x_i \leq b_k\) 是一个差分约束，则边 \((v_i,v_j)\) 的权 \(w(v_i,v_j)=b_k\)（注意 \(i\) 和 \(j\) 不能颠倒），从 \(v_0\) 出发的每条边的权值均为 0。</p>
<h2 id="定理"><a href="#定理" class="headerlink" title="定理"></a>定理</h2><p>给定一差分系统 \(Ax \leq b\)，设 \(G=(V,E)\) 为其相应的约束图。如果 \(G\) 不包含负权回路，那么 \(x=(d(v_0,v_1),d(_0,d_2), \cdots ,d(v_0,v_n))\) 是此系统的一可行解。</p>
<h2 id="求解"><a href="#求解" class="headerlink" title="求解"></a>求解</h2><p>由上述定理可知，可以采用Bellman-Ford算法对差分约束问题求解。因为在约束图中，从源点 \(v_0\) 到其他所有顶点间均存在边，因此约束图中任何负权回路均从 \(v_0\) 可达。如果Bellman-Ford算法返回True，则最短路径权给出了此系统的一个可行解；如果返回False，则差分约束系统无可行解。</p>
<p>关于 \(n\) 个未知量 \(m\) 个约束条件的一个差分约束系统产生出一个具有 \(n+1\) 个顶点和 \(n+m\) 条边的约束图。因此采用Bellman-Ford算法，可以再 \(O((n+1)(n+m))=O(n^2+nm)\) 时间内将系统解决。<strong>此外，可以用SPFA算法进行优化，复杂度为 \(O(km)\)，其中 \(k\) 为常数。</strong></p>
 
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	.darkmode .MiniValine .vlist .vcard .vcomment-body .text-wrapper .vcomment.expand:before{
		background: linear-gradient(180deg, rgba(246,246,246,0), rgba(0,0,0,0.9))
	}
	.darkmode .MiniValine .vlist .vcard .vcomment-body .text-wrapper .vcomment.expand:after{
		background: rgba(0,0,0,0.9)
	}
	.darkmode .MiniValine .vlist .vcard .vcomment-body .text-wrapper .vcomment pre{
		background: #282c34
		border: 1px solid #282c34
	}
	.darkmode .MiniValine .vinputs-area .textarea-wrapper textarea{
		color: #000;
	}
	.darkmode .MiniValine .vinputs-area .auth-section .input-wrapper input{
		color: #000;
	}
	.darkmode .MiniValine .vinputs-area .vextra-area .vsmile-icons{
		background: transparent;
	}
	.darkmode .MiniValine .vinputs-wrap{
		border-color: #b2b2b5;
	}
	.darkmode .MiniValine .vinputs-wrap:hover{
		border: 1px dashed #2196f3;
	}
	.darkmode .MiniValine .vinputs-area .auth-section .input-wrapper{
		border-bottom: 1px dashed #b2b2b5;
	}
	.darkmode .MiniValine .vinputs-area .auth-section .input-wrapper:hover{
		border-bottom: 1px dashed #2196f3;
	}
	.darkmode .MiniValine .vbtn{
		background-color: transparent!important;
	}
	.darkmode .MiniValine .vbtn:hover{
		border: 1px dashed #2196f3;
	}
</style>

    
</article>

</section>
      <footer class="footer">
  <div class="outer">
    <ul>
      <li>
        Copyrights &copy;
        2019-2024
        <i class="ri-heart-fill heart_icon"></i> 鞠桥丹-QIAODAN JU
      </li>
    </ul>
    <ul>
      <li>
        
        
        
        由 <a href="https://hexo.io" target="_blank">Hexo</a> 强力驱动
        <span class="division">|</span>
        主题 - <a href="https://github.com/Shen-Yu/hexo-theme-ayer" target="_blank">Ayer</a>
        
      </li>
    </ul>
    <ul>
      <li>
        
        
        <span>
  <span><i class="ri-user-3-fill"></i>访问人数:<span id="busuanzi_value_site_uv"></span></s>
  <span class="division">|</span>
  <span><i class="ri-eye-fill"></i>浏览次数:<span id="busuanzi_value_page_pv"></span></span>
</span>
        
      </li>
    </ul>
    <ul>
      
    </ul>
    <ul>
      
    </ul>
    <ul>
      <li>
        <!-- cnzz统计 -->
        
        <script type="text/javascript" src='https://s4.cnzz.com/z_stat.php?id=1279035150&amp;web_id=1279035150'></script>
        
      </li>
    </ul>
  </div>
</footer>
      <div class="float_btns">
        <div class="totop" id="totop">
  <i class="ri-arrow-up-line"></i>
</div>

<div class="todark" id="todark">
  <i class="ri-moon-line"></i>
</div>

      </div>
    </main>
    <aside class="sidebar on">
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<nav class="navbar">
  
  <div class="logo">
    <a href="/"><img src="/images/ayer-side.svg" alt="丛烨-shimmerjordan"></a>
  </div>
  
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    </li>
    
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      <a class="nav-item-link" href="/archives">Catalogue</a>
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      <a class="nav-item-link" href="/tags">Tags</a>
    </li>
    
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      <a class="nav-item-link" href="/tags/%E9%9A%8F%E7%AC%94/">Essay</a>
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      <a class="nav-item-link" href="/categories">Archives</a>
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      <a class="nav-item-link" href="/2020/01/18/about">About</a>
    </li>
    
  </ul>
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  <ul class="nav">
    <li class="nav-item">
      
      <a class="nav-item-link nav-item-search"  title="搜索">
        <i class="ri-search-line"></i>
      </a>
      
      
      <a class="nav-item-link" target="_blank" href="/atom.xml" title="RSS Feed">
        <i class="ri-rss-line"></i>
      </a>
      
    </li>
  </ul>
</nav>
<div class="search-form-wrap">
  <div class="local-search local-search-plugin">
  <input type="search" id="local-search-input" class="local-search-input" placeholder="Search...">
  <div id="local-search-result" class="local-search-result"></div>
</div>
</div>
    </aside>
    <script>
      if (window.matchMedia("(max-width: 768px)").matches) {
        document.querySelector('.content').classList.remove('on');
        document.querySelector('.sidebar').classList.remove('on');
      }
    </script>
    <div id="mask"></div>

<!-- #reward -->
<div id="reward">
  <span class="close"><i class="ri-close-line"></i></span>
  <p class="reward-p"><i class="ri-cup-line"></i>请我喝杯蓝莓汁吧~</p>
  <div class="reward-box">
    
    <div class="reward-item">
      <img class="reward-img" src="/images/alipay.jpg">
      <span class="reward-type">支付宝</span>
    </div>
    
    
    <div class="reward-item">
      <img class="reward-img" src="/images/wechat.jpg">
      <span class="reward-type">微信</span>
    </div>
    
  </div>
</div>
    
<script src="/js/jquery-2.0.3.min.js"></script>


<script src="/js/lazyload.min.js"></script>

<!-- Tocbot -->


<script src="/js/tocbot.min.js"></script>

<script>
  tocbot.init({
    tocSelector: '.tocbot',
    contentSelector: '.article-entry',
    headingSelector: 'h1, h2, h3, h4, h5, h6',
    hasInnerContainers: true,
    scrollSmooth: true,
    scrollContainer: 'main',
    positionFixedSelector: '.tocbot',
    positionFixedClass: 'is-position-fixed',
    fixedSidebarOffset: 'auto'
  });
</script>

<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/jquery-modal@0.9.2/jquery.modal.min.js"></script>
<link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/jquery-modal@0.9.2/jquery.modal.min.css">
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/justifiedGallery@3.7.0/dist/js/jquery.justifiedGallery.min.js"></script>

<script src="/dist/main.js"></script>

<!-- ImageViewer -->

<!-- Root element of PhotoSwipe. Must have class pswp. -->
<div class="pswp" tabindex="-1" role="dialog" aria-hidden="true">

    <!-- Background of PhotoSwipe. 
         It's a separate element as animating opacity is faster than rgba(). -->
    <div class="pswp__bg"></div>

    <!-- Slides wrapper with overflow:hidden. -->
    <div class="pswp__scroll-wrap">

        <!-- Container that holds slides. 
            PhotoSwipe keeps only 3 of them in the DOM to save memory.
            Don't modify these 3 pswp__item elements, data is added later on. -->
        <div class="pswp__container">
            <div class="pswp__item"></div>
            <div class="pswp__item"></div>
            <div class="pswp__item"></div>
        </div>

        <!-- Default (PhotoSwipeUI_Default) interface on top of sliding area. Can be changed. -->
        <div class="pswp__ui pswp__ui--hidden">

            <div class="pswp__top-bar">

                <!--  Controls are self-explanatory. Order can be changed. -->

                <div class="pswp__counter"></div>

                <button class="pswp__button pswp__button--close" title="Close (Esc)"></button>

                <button class="pswp__button pswp__button--share" style="display:none" title="Share"></button>

                <button class="pswp__button pswp__button--fs" title="Toggle fullscreen"></button>

                <button class="pswp__button pswp__button--zoom" title="Zoom in/out"></button>

                <!-- Preloader demo http://codepen.io/dimsemenov/pen/yyBWoR -->
                <!-- element will get class pswp__preloader--active when preloader is running -->
                <div class="pswp__preloader">
                    <div class="pswp__preloader__icn">
                        <div class="pswp__preloader__cut">
                            <div class="pswp__preloader__donut"></div>
                        </div>
                    </div>
                </div>
            </div>

            <div class="pswp__share-modal pswp__share-modal--hidden pswp__single-tap">
                <div class="pswp__share-tooltip"></div>
            </div>

            <button class="pswp__button pswp__button--arrow--left" title="Previous (arrow left)">
            </button>

            <button class="pswp__button pswp__button--arrow--right" title="Next (arrow right)">
            </button>

            <div class="pswp__caption">
                <div class="pswp__caption__center"></div>
            </div>

        </div>

    </div>

</div>

<link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/photoswipe@4.1.3/dist/photoswipe.min.css">
<link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/photoswipe@4.1.3/dist/default-skin/default-skin.min.css">
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/photoswipe@4.1.3/dist/photoswipe.min.js"></script>
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/photoswipe@4.1.3/dist/photoswipe-ui-default.min.js"></script>

<script>
    function viewer_init() {
        let pswpElement = document.querySelectorAll('.pswp')[0];
        let $imgArr = document.querySelectorAll(('.article-entry img:not(.reward-img)'))

        $imgArr.forEach(($em, i) => {
            $em.onclick = () => {
                // slider展开状态
                // todo: 这样不好，后面改成状态
                if (document.querySelector('.left-col.show')) return
                let items = []
                $imgArr.forEach(($em2, i2) => {
                    let img = $em2.getAttribute('data-idx', i2)
                    let src = $em2.getAttribute('data-target') || $em2.getAttribute('src')
                    let title = $em2.getAttribute('alt')
                    // 获得原图尺寸
                    const image = new Image()
                    image.src = src
                    items.push({
                        src: src,
                        w: image.width || $em2.width,
                        h: image.height || $em2.height,
                        title: title
                    })
                })
                var gallery = new PhotoSwipe(pswpElement, PhotoSwipeUI_Default, items, {
                    index: parseInt(i)
                });
                gallery.init()
            }
        })
    }
    viewer_init()
</script>

<!-- MathJax -->

<script type="text/x-mathjax-config">
  MathJax.Hub.Config({
      tex2jax: {
          inlineMath: [ ['$','$'], ["\\(","\\)"]  ],
          processEscapes: true,
          skipTags: ['script', 'noscript', 'style', 'textarea', 'pre', 'code']
      }
  });

  MathJax.Hub.Queue(function() {
      var all = MathJax.Hub.getAllJax(), i;
      for(i=0; i < all.length; i += 1) {
          all[i].SourceElement().parentNode.className += ' has-jax';
      }
  });
</script>

<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@2.7.6/unpacked/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"></script>
<script>
  var ayerConfig = {
    mathjax: true
  }
</script>

<!-- Katex -->

<!-- busuanzi  -->


<script src="/js/busuanzi-2.3.pure.min.js"></script>


<!-- ClickLove -->


<script src="/js/clickLove.js"></script>


<!-- ClickBoom1 -->

<!-- ClickBoom2 -->

<!-- CodeCopy -->


<link rel="stylesheet" href="/css/clipboard.css">

<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/clipboard@2/dist/clipboard.min.js"></script>
<script>
  function wait(callback, seconds) {
    var timelag = null;
    timelag = window.setTimeout(callback, seconds);
  }
  !function (e, t, a) {
    var initCopyCode = function(){
      var copyHtml = '';
      copyHtml += '<button class="btn-copy" data-clipboard-snippet="">';
      copyHtml += '<i class="ri-file-copy-2-line"></i><span>COPY</span>';
      copyHtml += '</button>';
      $(".highlight .code pre").before(copyHtml);
      $(".article pre code").before(copyHtml);
      var clipboard = new ClipboardJS('.btn-copy', {
        target: function(trigger) {
          return trigger.nextElementSibling;
        }
      });
      clipboard.on('success', function(e) {
        let $btn = $(e.trigger);
        $btn.addClass('copied');
        let $icon = $($btn.find('i'));
        $icon.removeClass('ri-file-copy-2-line');
        $icon.addClass('ri-checkbox-circle-line');
        let $span = $($btn.find('span'));
        $span[0].innerText = 'COPIED';
        
        wait(function () { // 等待两秒钟后恢复
          $icon.removeClass('ri-checkbox-circle-line');
          $icon.addClass('ri-file-copy-2-line');
          $span[0].innerText = 'COPY';
        }, 2000);
      });
      clipboard.on('error', function(e) {
        e.clearSelection();
        let $btn = $(e.trigger);
        $btn.addClass('copy-failed');
        let $icon = $($btn.find('i'));
        $icon.removeClass('ri-file-copy-2-line');
        $icon.addClass('ri-time-line');
        let $span = $($btn.find('span'));
        $span[0].innerText = 'COPY FAILED';
        
        wait(function () { // 等待两秒钟后恢复
          $icon.removeClass('ri-time-line');
          $icon.addClass('ri-file-copy-2-line');
          $span[0].innerText = 'COPY';
        }, 2000);
      });
    }
    initCopyCode();
  }(window, document);
</script>


<!-- CanvasBackground -->


<script src="/js/dz.js"></script>



    
  </div>
</body>

</html>